ریاضی نهم صفحه ۱۱۹- فعالیت
توضیح دهید که هر یک از ضربها و یا تقسیمهای زیر چگونه انجام شده است. هرجا لازم است، راهحل را کامل و حاصل عبارت را ساده کنید.
الف) $$\frac{5xy^3}{8x^2z^2} \times \frac{16z^3}{15y^2} = \frac{2yz}{3x}$$
ب) $$\frac{x+3}{x} \times \frac{x^2}{x^2-2x-15} = \frac{x+3}{x} \times \frac{x^2}{(x+3)(x-5)} = \dots\dots$$
ج) $$\frac{x-6}{x^2-12x+36} \times \frac{x^2-3x-18}{x^2+7x+12} = \frac{x-6}{( \quad )( \quad )} \times \frac{( \quad )( \quad )}{(x+3)(x+4)} = \frac{1}{x+4}$$
د) $$\frac{4x^2}{3xy} \div \frac{8x}{y^3} = \frac{4x^2}{3xy} \times \frac{y^3}{8x} = \dots\dots = \frac{y^2}{6}$$
ه) $$\frac{a^2-4a-5}{a^2-4a} \div \frac{a^2+3a+2}{a-4} = \frac{a^2-4a-5}{a^2-4a} \times \frac{a-4}{a^2+3a+2} = \frac{(a+1)(a-5)}{a( \quad )} \times \frac{a-4}{( \quad )( \quad )} = \frac{a-5}{\dots\dots}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۱۹ - فعالیت
سلام به شما دانشآموزان پرتلاش! در این فعالیت میخواهیم یاد بگیریم که چگونه **ضرب و تقسیم عبارتهای گویا** را انجام دهیم. روش کار بسیار شبیه به ضرب و تقسیم کسرهای معمولی است؛ یعنی در ضرب، صورت در صورت و مخرج در مخرج ضرب میشود و در تقسیم، کسر اول را در **معکوس** کسر دوم ضرب میکنیم. کلید اصلی موفقیت در این بخش، **تجزیه** کامل عبارتهاست.
**بررسی گام به گام موارد:**
* **بخش الف:** در اینجا ساده کردن قبل از ضرب انجام شده است. عدد ۵ با ۱۵ ساده شده و حاصل ۳ در مخرج مانده است. عدد ۸ با ۱۶ ساده شده و ۲ در صورت مانده است. برای متغیرها هم از قوانین توان استفاده شده است ($$y^3$$ با $$y^2$$ ساده شده و یک $$y$$ در صورت میماند و به همین ترتیب برای بقیه).
* **بخش ب (تکمیل راهحل):** کسر دوم در مخرج با استفاده از **اتحاد جمله مشترک** به $$(x+3)(x-5)$$ تجزیه شده است. حالا عامل مشترک $$(x+3)$$ از صورت و مخرج و یک $$x$$ از مخرج با توان دوی صورت ساده میشود.
حاصل نهایی: $$\frac{x}{x-5}$$
* **بخش ج (تکمیل راهحل):** ابتدا باید تجزیه کنیم.
$$x^2-12x+36$$ اتحاد مربع دوجملهای است: $$(x-6)^2$$
$$x^2-3x-18$$ اتحاد جمله مشترک است: $$(x-6)(x+3)$$
حالا با جایگذاری و ساده کردن $$(x-6)$$ ها و $$(x+3)$$ ها، فقط $$\frac{1}{x+4}$$ باقی میماند.
* **بخش د (تکمیل راهحل):** ابتدا تقسیم به ضرب تبدیل شده (کسر دوم معکوس شد).
حاصل ضرب صورتها: $$4x^2y^3$$
حاصل ضرب مخرجها: $$24x^2y$$
با ساده کردن عدد ۴ با ۲۴ حاصل ۶ در مخرج میماند، $$x^2$$ ها حذف میشوند و $$y^3$$ با $$y$$ ساده شده و $$y^2$$ در صورت میماند. حاصل: $$\frac{y^2}{6}$$
* **بخش ه (تکمیل راهحل):**
۱. صورت کسر اول $$(a^2-4a-5)$$ تجزیه میشود به: $$(a+1)(a-5)$$
۲. مخرج کسر اول $$(a^2-4a)$$ فاکتورگیری میشود: $$a(a-4)$$
۳. مخرج کسر دوم (بعد از معکوس شدن) $$(a^2+3a+2)$$ تجزیه میشود به: $$(a+1)(a+2)$$
حالا با ساده کردن $$(a+1)$$ و $$(a-4)$$ از صورت و مخرج، آنچه باقی میماند حاصل نهایی است.
حاصل نهایی: $$\frac{a-5}{a(a+2)}$$
امیدوارم این توضیحات به شما کمک کرده باشد تا مفهوم ساده کردن قبل از ضرب را به خوبی درک کنید. همیشه یادتان باشد اول **تجزیه**، بعد **ساده کردن** و در آخر **ضرب** کنید!
ریاضی نهم صفحه ۱۲۰ - تمرین ۲
۲- حاصل هر عبارت را به سادهترین صورت بنویسید :
الف) $$\frac{a^2 - a - 6}{a + 3} \times \frac{a + 3}{a^2 - 4}$$
ب) $$\frac{a^2b + ab^2}{a} \times \frac{3ab}{(a + b)^2}$$
ج) $$\frac{x^2 + 3x + 2}{x + 2} \div \frac{x + 1}{x + 5}$$
د) $$\frac{4x^2}{3xy^2} \div \frac{8x}{9y^5}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی نهم صفحه ۱۲۰ - تمرین ۲
سلام به دانشآموزان عزیز! برای حل این تمرینها، یادمان باشد که در ضرب و تقسیم عبارتهای گویا، اولویت با **تجزیه کردن** است تا بتوانیم عوامل مشترک را ساده کنیم.
**الف) $$\frac{a^2 - a - 6}{a + 3} \times \frac{a + 3}{a^2 - 4}$$**
۱. صورت کسر اول (اتحاد جمله مشترک): $$(a - 3)(a + 2)$$.
۲. مخرج کسر دوم (اتحاد مزدوج): $$(a - 2)(a + 2)$$.
۳. حالا عبارت را بازنویسی و ساده میکنیم: $$\frac{(a - 3)(a + 2)}{a + 3} \times \frac{a + 3}{(a - 2)(a + 2)}$$.
۴. عوامل $$(a + 2)$$ و $$(a + 3)$$ از صورت و مخرج خط میخورند.
**حاصل نهایی:** $$\frac{a - 3}{a - 2}$$.
**ب) $$\frac{a^2b + ab^2}{a} \times \frac{3ab}{(a + b)^2}$$**
۱. در صورت کسر اول فاکتورگیری میکنیم: $$ab(a + b)$$.
۲. عبارت ساده شده: $$\frac{ab(a + b)}{a} \times \frac{3ab}{(a + b)^2}$$.
۳. عامل $$(a + b)$$ از صورت با یکی از توانهای مخرج ساده میشود. همچنین $$a$$ صورت با $$a$$ مخرج ساده میشود.
**حاصل نهایی:** $$\frac{3a b^2}{a + b}$$.
**ج) $$\frac{x^2 + 3x + 2}{x + 2} \div \frac{x + 1}{x + 5}$$**
۱. تقسیم را به ضرب تبدیل کرده و کسر دوم را معکوس میکنیم.
۲. صورت کسر اول را تجزیه میکنیم: $$(x + 2)(x + 1)$$.
۳. عبارت: $$\frac{(x + 2)(x + 1)}{x + 2} \times \frac{x + 5}{x + 1}$$.
۴. عوامل $$(x + 2)$$ و $$(x + 1)$$ کاملاً ساده میشوند.
**حاصل نهایی:** $$x + 5$$.
**د) $$\frac{4x^2}{3xy^2} \div \frac{8x}{9y^5}$$**
۱. معکوس کردن کسر دوم: $$\frac{4x^2}{3xy^2} \times \frac{9y^5}{8x}$$.
۲. اعداد را ساده میکنیم: ۴ با ۸ میشود ۲ در مخرج؛ ۹ با ۳ میشود ۳ در صورت.
۳. متغیرها: $$x^2$$ صورت با $$x \cdot x$$ مخرج ساده میشود. $$y^5$$ صورت با $$y^2$$ مخرج ساده شده و $$y^3$$ میماند.
**حاصل نهایی:** $$\frac{3y^3}{2}$$.
